I.4 Products of Metric Spaces

Products of Metric Spaces

여러 개의 Metric space $(X_1, d_1), ..., (X_n, d_n)$ 이 있을 때 이들의 곱으로 새로운 Metric Space를 정의할 수 있다.

Product set $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ 은 조합 가능한 모든 n-tuple $(x_1, ..., x_n)$ 으로 이루어지고, 이에 적절한 metric을 정의해주면 $X$ 는 Metric Space가 된다.

예를 들어 $x=(x_1, ..., x_n), y=(y_1, ..., y_n)$ 에 대해 $d(x, y)=\left[ \sum_{i=1}^{n}{d_i(x_i, y_i)^2} \right]^{1/2}$ 와 같이 정의하면 $d$ 는 metric의 정의를 만족한다.

정의만 만족한다면 얼마든지 metric을 정의할 수 있다. $d(x, y)=\text{max}(d_1(x_1, y_1), ..., d_n(x_n, y_n))$ 역시 metric이 될 수 있다. (이를 보이는 것은 연습문제)

위의 두 metric이 각각 $X = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 에 적용된다면, 이 Metric Space에서 open ball의 모습은 다음과 같게 된다.

이와 관련된 정리로, 특정 조건을 만족하는 metric이 적용된 Metric space에 대해 다음이 성립한다.

$X=X_1 \times \cdots \times X_n$ 와 이에 대한 metric $d$ 로 이루어진 Metric Space $(X, d)$ 의 open set은, $U_1 \times \cdots \times U_n$ 와 같은 형태의 product set들의 union으로 표현할 수 있다. ( $U_i$ 는 $X_i$ 의 open set, $1 \leq i \leq n$ )
Metric Space $(X_1, d_1), ..., (X_n, d_n)$ 각각이 모두 complete하면, $X=X_1 \times \cdots \times X_n$ 와 이에 대한 metric $d$ 로 이루어진 Metric Space $(X, d)$ 또한 complete하다.

2025.07.30

Introduction to Topology, 2ed (T.W. Gamelin and R.E. Greene)