Home
Blog
Music
Photo

dy/dx는 분수인가

Tags:
Leibniz

대학원 입학 전까지 남은 시간 동안, 학부에서 수학을 공부하며 궁금했지만 깊게 생각해보지 못한 주제들을 돌아보려 한다.

짧게 생각해본 결과 첫 번째로는 이 주제에 대해 생각해보는 게 가장 좋은 스타팅포인트가 될 것이라고 결론 내렸다.

dy/dx는 분수인가

Chain rule

이 의문이 본격적으로 들었던 것은 아무래도 chain rule 때문이었다.

함수 z=g(x)z=g(x) (g:X→Zg: X \rightarrow Z) 와 y=f(x)y=f(x) (g:Z→Yg: Z \rightarrow Y) 가 정의되어 있을 때, dydz\frac{dy}{dz} 와 dzdx\frac{dz}{dx} 는 쉽게 알 수 있을 것이다.

그런데 yy 를 xx 에 대한 함수로 나타낸 y=f(g(x))y=f(g(x)) 를 xx 에 대해 미분하고자 하면 상황이 복잡해질 수 있는데, 이를 dydz\frac{dy}{dz} 와 dzdx\frac{dz}{dx} 로 해결하는 방법에 대해 다음과 같은 증명을 할 수 있다.

ddxf(g(x))=lim⁡h→0f(g(x+h))−f(g(x))h=lim⁡h→0f(g(x+h))−f(g(x))h⋅g(x+h)−g(x)g(x+h)−g(x)⋯ (1을 곱하고 극한을 취해도 결과는 같음)=lim⁡h→0f(g(x+h))−f(g(x))g(x+h)−g(x)⋅g(x+h)−g(x)h=dydz⋅dzdx\begin{aligned} \frac{d}{dx} f(g(x)) & = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}} \\ & = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}} && \cdots \ \text{\footnotesize(1을 곱하고 극한을 취해도 결과는 같음)} \\ & = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \\ & = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} \\ \end{aligned}

이때, lim⁡h→0f(g(x+h))−f(g(x))g(x+h)−g(x)=dydz\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}} = \frac{dy}{dz} 인 이유는:

Δg:=g(x+h)−g(x)\footnotesize \Delta g := g(x+h)-g(x)

Δg→0∵lim⁡h→0g(x+h)−g(x)=0(∵continuity of g(x))\footnotesize \Delta g \rightarrow 0 \because \lim_{h \rightarrow 0} g(x+h)-g(x) = 0 \quad (\because \text{continuity of } g(x))

lim⁡h→0f(g(x+h))−f(g(x))g(x+h)−g(x)=f(g(x)+Δg)−f(g(x))Δg=dydz\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}=\frac{f(g(x) + \Delta g)-f(g(x))}{\Delta g} = \frac{dy}{dz}

즉 이러한 증명을 통해 dydx=dydz⋅dzdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} 라는 사실을 도출할 수 있다.

dydz⋅dzdx\frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} 는 약분되는가

문제는 이게 흡사 dydz⋅dzdx\frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} 에서 dzdz 가 소거되어 dydx\frac{dy}{dx} 가 되고 따라서 dydx=dydz⋅dzdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} 인 것 같은 모양새가 된다는 점이다.

하지만 당연히 그럴 리는 없고 dydx=dydz⋅dzdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} 가 가능한 이유는 위와 같은 증명이 존재하기 때문이고

애초에 분수의 형태로 고안된 라이프니츠의 표기법 dydx\frac{dy}{dx} 는 애초에 분수가 아니다. 그냥 외형만 분수와 동일하다.

다만, 분수는 아닌데 분수인 것처럼 상상하면 생각하기가 좀 더 편해지니까 {분수이며 약분도 되는 것}처럼 취급하고, 실제로 저게 되는 이유는 별도의 증명이 가능하기 때문이라고 스스로 정리했다.


dzdx=g(x)\frac{dz}{dx} = g(x) 는 해체 가능한가

수많은 공대생들이 학부 입학 직후 배우는 미적분학1에서는 위와 같은 식을 갑자기 dz=dx⋅g(x)dz = dx \cdot g(x) 와 같이 변형하고

고교 과정에서는 치환적분이라고 부르던 그런 것을 하는 문제들을 풀었다.

이후에는 Riemann-Stieltjes Integral을 접하며 저걸 다시 만났고

예를 들어 대표 예제인 ∫ln⁡xxdx\int \frac{\ln{x}}{x} dx 는 g(x)=ln⁡x\footnotesize g(x) = \ln{x} 와 같이 놓고, dgdx=1x\frac{dg}{dx} = \frac{1}{x} 이므로 dg=dxxdg = \frac{dx}{x} 와 같이 변형한 후

∫ln⁡xxdx=∫g(x)dg=12{g(x)}2+C=12{ln⁡x}2+C\begin{aligned} \int \frac{\ln{x}}{x} dx & = \int g(x) dg \\ & = \frac{1}{2} \{g(x)\}^2 + C \\ & = \frac{1}{2} \{\ln{x}\}^2 + C \\ \end{aligned}

이렇게 문제를 푸는데,

생각해보면 dg=dxxdg = \frac{dx}{x} 같은 것이 없어도, g(x)=ln⁡xg(x) = \ln{x} 만 있으면 (dgdx=1x\frac{dg}{dx} = \frac{1}{x} 이므로)

∫ln⁡xxdx=∫(g(x)⋅dgdx)dx=12{g(x)}2+C=12{ln⁡x}2+C\begin{aligned} \int \frac{\ln{x}}{x} dx & = \int \left( g(x) \cdot \frac{dg}{dx} \right) dx \\ & = \frac{1}{2} \{g(x)\}^2 + C \\ & = \frac{1}{2} \{\ln{x}\}^2 + C \\ \end{aligned}

이렇게 풀어내는 것이 가능하다.

즉 dg=dxxdg = \frac{dx}{x} 같은 변형이 없어도 결론에 다다를 수 있지만, (dgdx\frac{dg}{dx} 가 분수인 것처럼 취급하고) dg=dxxdg = \frac{dx}{x} 같은 변형을 가미해서 풀면 더 생각하기 편하다.

따라서 위의 dydx\frac{dy}{dx} 는 분수인가 의 경우와 동일하게, 실제로 그런 건 아닌데 그런 것처럼 간주하면 생각하기 편리하니까 그런 양 쓰는 것이라고 스스로 정리했다.


∫f(x)dx\int f(x) dx 의 dxdx 는 f(x)f(x) 에 곱해져있는 것인가

사실 가장 오랜 의문은 이것이었다.

2023년 3월, 데이터사이언스학부로의 전과 직후 첫 학기에 들은 공업수학1 수업에서 교수님께서

∫dxx=∫1xdx=ln⁡x+C\begin{aligned} \int{\frac{dx}{x}} &= \int{\frac{1}{x}dx} \\ & = \ln{x} + C \\ \end{aligned}

이런 식으로 문제를 풀어주시는 걸 봤다.

그때는 dxdx 가 1x\frac{1}{x} 와 합체되는 걸 보면서 '저게 가능한 게 맞나? dxdx 는 그냥 ∫\int 뒤에 세트로 붙어있는 상징적인 기호같은 것 아니었나?' 하는 생각이 들었다.

결론은 이것도 마찬가지로, dx가 곱해져있는 양 취급하는 건 하나의 (편리함을 위한?) 표기 방식이고, 실제로 저게 되는 이유는 별도의 증명이 가능하기 때문인 듯.

기타

reddit_leibniz_notation

[reddit]



2026.01.04

References

https://blog.naver.com/jhson5507/221374147054