함수란 무엇일까

남는 시간 동안 공부해보고 싶었던 것 중 하나가 비트코인의 작동 원리였고, 타원곡선과 유한체에 대해 먼저 살펴보다보니 군(Group), 환(Ring), 체(Field)의 정의를 알아보게 됐다.

그러다 우연히 함수의 정의에 대한 내용을 접했는데, 이에 대해서도 먼저 정리해 보았다.

Function

아마 중학교 쯤에 배웠던 기억 속에 남아있는 함수의 의미는, 하나의 입력값을 하나의 출력값으로 바꾸어주는 무언가였다.

학부에서는 $f:X \rightarrow Y, \ x \mapsto f(x)$ 등 더 다양한 표기를 접했고,

지금 학부를 졸업할 쯤이 되니 함수를 엄밀하게 정의하는 방식은 무엇일까 하는 생각이 들었다.

Definition (Function)

그래서 함수가 무엇인지에 대한 정의와 관련해서 등장하는 내용들을 무작정 정리해보았다.

A function $f$ from $X$ to $Y$ 란 (다음의 조건을 만족하는) Cartesian product $X \times Y$ 의 subset이다.

$\forall x \in X \quad \exists y \in Y \quad s.t. (x,y) \in f$

(또는, ' $f$ 의 도메인은 $X$ 이다'. 이 또한 X의 모든 원소에 대해 함숫값이 정의되어 있어야 한다는 의미)

Well-defined: $x_1 = x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) = f(x_2)$

$y=f(x) \Leftrightarrow (x, y) \in f$ . 같은 의미이다.
그리고 $(X, Y, f)$ 와 같이 셋을 묶은 triple로 함수를 정의하기도 한다.
1번 관련: 물론 각 element $x \in X$ 는 unique한 $b$ 로 맵핑되어야 한다는 점도 있다. $f(x_1)$ 값이 $y_1$ 이었다가 $y_2$ 이었다가 이러면 안됨.
2번 관련: Well-defined 라는 것은 위상수학1 수업에서도 한 번 들어본 적이 있었다.

어떤 metric space의 completion이 항상 존재성할 수 있음을 논하기 위해 어떠한 함수를 임의로 정의하고, 이 함수의 well-definedness를 따지는 것이었다.

이때는 위의 1번(모든 $x$ 값에 대해 각각 함숫값이 존재하는가?)과 2번( $x_1=x_2$ 이면 $f(x_1)=f(x_2)$ 인가?)을 교수님께서 모두 보여주셨다.

기타 용어 정리

Domain( $X$ ), Codomain( $Y$ ), range( $f(X)$ )
Image ( $f(X)$ ), Pre-image( $f^{-1}(Y)$ )
Injective (one-to-one)
- $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ 로 정의된다. (well-defined와 정의가 반대이다. 참고)
- 또는 '일대일 함수'
Surjective(onto)
- $\forall y \in Y$ , $f(x)=y$ 인 $x$ 가 하나 이상 존재
- 즉, $Y$ 의 모든 원소가 preimage인 경우 (Codomain=Range)
Bijective (one-to-one correspondence)
- 위 둘 모두에 해당.
- 또는 '일대일 대응'

2026.01.05

References

https://gosamy.tistory.com/384 https://math.stackexchange.com/questions/60365/what-is-the-set-theoretic-definition-of-a-function