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Properties of preference

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MonotoneQuasi-linear

convexity를 논하는 개념이 1. 함수, 2. 집합, 3. preference 세 가지라고 하셨다.

Preference에서는 정의만 정리했고

The more The better: Monotonicity, Local Non-Satiation

Definition (Monotonicity)

Definition
Preference relation is monotone if x1≫x2⇒x1≻x2\textbf{x}_1 \gg \textbf{x}_2 \Rightarrow \textbf{x}_1 \succ \textbf{x}_2

Preference relation is strongly monotone if x1≥x2 and x1≠x2⇒x1≻x2\textbf{x}_1 \geq \textbf{x}_2 \ \text{and} \ \textbf{x}_1 \ne \textbf{x}_2 \Rightarrow \textbf{x}_1 \succ \textbf{x}_2

Strongly monotone ⇒\Rightarrow Monotone

  • 학부 교재에서 본 그것고 같다. The more, the better을 의미한다.
    • 예를 들어 Cobb-Douglas utility function은 monotone하면서 strongly monotone하다. (매끈한 곡선 형태의 IC)
    • 반면 Leontief utility function은 monotone하지만 strongly monotone하지는 않다. (좌표축에 수평/수직인 구간을 포함하는 IC)
  • Monotone preference를 represnet하는 효용 함수는 ∂u∂xi≥0 ∀i⇒∇u(x)≥0,u(x)≠0\frac{\partial u}{\partial x_i} \geq 0 \ \forall i \Rightarrow \nabla u(x) \geq 0, u(x) \ne 0
  • Strongly monotone preference를 represnet하는 효용 함수는 ∂u∂xi>0 ∀i⇒∇u(x)≫0\frac{\partial u}{\partial x_i} > 0 \ \forall i \Rightarrow \nabla u(x) \gg 0
  • 이 둘보다 좀 더 완화된 조건이 아래의 Local Non-Satiation 이다.

Definition (Local Non-Satiation)

Definition
Preference relation ⪰\succeq satisfies Local Non-Satiation if  ∀x1∈X, ∀ε>0, ∃x2 s.t. ∣∣x2−x1∣∣<ε,x2≻x1\ \forall \textbf{x}_1 \in X, \ \forall \varepsilon > 0, \ \exist \textbf{x}_2 \ \text{s.t.} \ \vert \vert \textbf{x}_2 - \textbf{x}_1 \vert \vert < \varepsilon, \textbf{x}_2 \succ \textbf{x}_1

  • 임의의 consumption bundle에 대해 그보다 더 선호하는 다른 consumption bundle이 주변에 항상 존재하기만 하면 된다.
  • 이를 만족한다면, 무차별 곡선이 두꺼워서는 안 된다는 결론에 다다를 수 있다.

The average is better than the extreme: Convexity, Strict convexity

Definition
Preference relation ⪰\succeq is convex if

For x_1,x_2,x_3∈X where x_2⪰x_1 and x_3⪰x_1, then for every θ∈[0,1], θx2+(1−θ)x3⪰x1\text{For} \ \textbf{x}\_1,\textbf{x}\_2,\textbf{x}\_3 \in X \ \text{where} \ \textbf{x}\_2 \succeq \textbf{x}\_1 \ \text{and} \ \textbf{x}\_3 \succeq \textbf{x}\_1, \ \text{then for every} \ \theta \in [0,1], \ \theta \textbf{x}_2 + (1-\theta) \textbf{x}_3 \succeq \textbf{x}_1

  • 이게 어떻게 'The average is better than the extreme'이라는 의미를 담을 수 있는 건지 한 눈에 들어오지는 않았지만, 'A, B가 모두 C보다 선호되거나 무차별적이라면, A와 B의 조합이 C보다 덜 선호될 수는 없다' 정도로 이해하는 게 좋겠다.
    • 예를 들어 Cobb-Douglas utility function은 convex하면서 strictly covnex하다.
    • 반면 Leontief utility function은 convex하지만 strictly convex하지는 않다.
    • 또한 u(x1,x2)=x1+x2u(x_1, x_2) = x_1 + x_2 형태의 효용 함수는 convex하지 않다.
  • 즉, Indifference Curve 위의 두 점을 이은 선분 위의 임의의 점(Linear interpolation 한)이 더 높은 효용을 주면 convex한 것인데, 좀 더 생각해보면 그러기 위해서는 upper contour set이 항상 Convex set이어야 하고, 따라서 효용 함수가 Quasi-concave function이어야 한다.
    • Strictly convex prefrence를 represent하는 효용 함수는 Strictly quasi-cocnave function.
convexity_of_prefences

IC 위의 두 점을 linear interpolation 한 점이, 기존 두 점보다 더 높은 효용을 주는 IC 위의 점인지 여부에 따라 convexity가 결정된다.

Quasi-linear preference

Definition
Preference relation ⪰\succeq is quasi-linear if, for e1=(1,0,0,...,0)e_1 = (1, 0, 0, ..., 0) and α∈R\alpha \in \mathbb{R},
(i) x_1∼x_2⇔x_1+αe1∼x_2+αe1\textbf{x}\_1 \sim \textbf{x}\_2 \Leftrightarrow \textbf{x}\_1 + \alpha e_1 \sim \textbf{x}\_2 + \alpha e_1
(ii) x1+αe1≻x_1 where α>0\textbf{x}_1 + \alpha e_1 \succ \textbf{x}\_1 \ \text{where} \ \alpha > 0

  • 수업에서 사용한 정의를 보면 preference에 대해서는 굉장히 알쏭달쏭 하지만, 효용 함수의 관점에서 생각해 본다면 최소 하나의 재화에 대해 linear한 효용 함수 를 떠올리면 된다.
    (i.e. u(x1,x2)=v(x1)+x2\text{i.e.} \ u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2)
  • 예를 들어 u(x1,x2)=x1x2u(x_1, x_2) = x_1 x_2 에 대해 indifferent한 두 consumption bundle (1,2), (2,1) 에 대해 위의 (i)(i) 를 적용해보면, (1+1,2)와 (2+1,1) 은 indifferent하지 않다. 즉 u(x1,x2)=x1x2u(x_1, x_2) = x_1 x_2 는 quasi-linear하지 않다.

Homothetic preference

Definition
Preference relation ⪰\succeq is homothetic if x_1∼x_2⇔t⋅x_1∼t⋅x_2 for all t>0\textbf{x}\_1 \sim \textbf{x}\_2 \Leftrightarrow t \cdot \textbf{x}\_1 \sim t \cdot \textbf{x}\_2 \ \text{for all} \ t > 0

  • 이것도 시각화를 통한 이해가 훨씬 직관적이다.
  • f(tx1,tx2)=tkf(x1,x2) ∀t>0f(t x_1, t x_2) = t^k f(x_1, x_2) \ \forall t > 0 를 만족하는 함수 f(x1,x2)f(x_1, x_2) 를 homogeneous function of degree kk 라고 한다. Preference가 homothetic 하다면, 그것을 represent하는 효용 함수는 homogeneous function of (some) degree kk 이다.

예시

Utility functionx1+x2x1x2x12x22x1x2x1+x2min⁡{x1,x2}Monotone preferenceOOOOOOStrongly monotone preferenceOOOOOXLocally non-satiated preferenceOOOOOOConvex preferenceXOOOOOStrictly convex preferenceXOOOXXQuasi-linear preferenceOXXXOXHomothetic preferenceOOOOXOConcave functionOXXOOOStrictly concave functionXXXXXXQuasi-concave functionOOOOOOStrictly quasi-concave functionXOOOXX\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Utility function} & x_1 + x_2 & x_1 x_2 & x_1^2 x_2^2 & \sqrt{x_1} \sqrt{x_2} & x_1 + \sqrt{x_2} & \min\{x_1, x_2\} \\ \hline \text{Monotone preference} & O & O & O & O & O & O \\ \hline \text{Strongly monotone preference} & O & O & O & O & O & X \\ \hline \text{Locally non-satiated preference} & O & O & O & O & O & O \\ \hline \text{Convex preference} & X & O & O & O & O & O \\ \hline \text{Strictly convex preference} & X & O & O & O & X & X \\ \hline \text{Quasi-linear preference} & O & X & X & X & O & X \\ \hline \text{Homothetic preference} & O & O & O & O & X & O \\ \hline \text{Concave function} & O & X & X & O & O & O \\ \hline \text{Strictly concave function} & X & X & X & X & X & X \\ \hline \text{Quasi-concave function} & O & O & O & O & O& O \\ \hline \text{Strictly quasi-concave function} & X & O & O & O & X & X \\ \hline \end{array}
  • 예를 들어 u(x1,x2)=min⁡{x1,x2}u(x_1, x_2) = \min\{x_1, x_2\} 로 표현되는 preference 는 monotone하지만 strongly monotone하지 않다.
  • u(x1,x2)=x1x2u(x_1, x_2)=x_1 x_2 는 concave가 아님과 동시에 convex도 아니다. 오직 (strictly) quasi-concave한 함수일 뿐이다.
  • 2~4번째 함수는 모두 Cobb-Douglas utility function u(x1,x2)=x1ax2bu(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b 인데, 이 경우
    • Strictly quasi-concave if a,b>0a,b>0
    • Concave if a+b≤1a+b \leq 1
    • Strictly concave if a+b<1a+b < 1 와 같이 판단 가능하다.



2026.03.29

References

https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_preferences https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_preferences