Group, Ring, Field

처음 수학에 재미를 붙였던 고등학교 2학년 당시 수학 선생님께서 직접 보유 중이시던 에바리스트 갈루아, 한 수학 천재를 위한 레퀴엠 이라는 책을 추천 및 빌려주셨었는데

나도 읽었고 친구도 읽었지만 친구는 그래도 항등원, 역원 등 군의 정의에 대해 오래도록 기억한 반면 나는 거의 이해를 못했던 기억이 있다.

큐브와 관해서도 자주 엮이는 만큼 군(Group)이라는 이름은 자주 들어봤지만 어려운 존재였는데, 그걸 학부 졸업하는 지금이 돼서야 다시 돌아본다.

Group, Ring, Field

---

Definition (Binary Operation)

Binary Operation이란 다음과 같은 *, 즉 함수라고 생각할 수 있겠다.

set $S$ 에 대해 $*: S \times S \rightarrow S$

• 즉 닫혀있지 않은 연산은 Binary Operation이라고 할 수 없다.

  • e.g. 나눗셈은 자연수 집합에 대한 이항 연산이 될 수 없다.

Group

위상수학 교재를 참고했다.

Definition
Set $G$ 와 mapping(하나의 Binary Operation) $(a, b) \rightarrow a * b \$ $(*: G \times G \rightarrow G)$ 이 다음 세 가지 공리를 만족하면 Group이라고 한다.

1. Associativity of Multiplication : $a * (b * c) = (a * b) * c \quad \forall a, b, c \in G$
2. Existence of Identity(항등원) : $\exist e \in G \ \ s.t. \ \ e * a = a * e = a \quad \forall a \in G$
3. Existence of Inverse(역원) : $\text{For each} \ \ a \in G, \ \exist b \in G \ \ s.t. \ \ a * b = b * a = e$

• Group $G$ 는 $(G, *)$ 와 같이 표기할 수 있다.
• 역원은 어떠한 element $a$ 를 항등원으로 만들어주는 element를 말하며, $a^{-1}$ 이라고도 표기한다.
• 항등원과 역원은 unique하게 존재한다. 증명은 교재에
• Associativity와 Identity가 만족되면 Monoid 라고 한다. 모든 군은 Monoid이며, $G$ is a monoid under * 라고도 표현한다.

Group $G$ 가 $\forall a,b \in G \ \ a * b = b * a$ 이면 Commutative Group 또는 Abelian Group이라 한다.

Ring

Set $R$ 이 두 개의 Binary Operation에(e.g. +: operation1, $\cdot$ : operation2) 대하여 다음의 공리를 만족하면 Ring이라고 한다.

1. $R$ 은 operation1에 대하여 Abelian Group이다.
2. operation2의 Associativity.
3. operation2에 대한 항등원의 존재
4. Distributivity : $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c), \ (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$

• 집합에 두 개의 연산이 동반되는 경우에 대해 다루기 시작한다.

  • 보통 operation1을 Addition, operation2를 Multiplication 이라고 부르지만, 이 정의에 대하여는 '어떠한 연산 2개에 대하여 하나는 이런 조건들을 만족, 다른 하나는 이런 조건들을 만족하면 된다' 라는 뉘앙스를 강조하고자 했다.

• 공리 2와 3을 결합하면 Monoid로 이어지는데, 항등원의 필요성에 대해서는 변화가 있었던 듯하다. 항등원이 모든 원소에 대해 존재해야 한다고 정의에 포함했다면 Ring with unity라고 명시하자.

operation2에 대해 commutativity도 성립하는 Ring은 Commutative Ring이라고 한다. ($a \cdot b = b \cdot a$)

Field

여기서부터는 곱셈의 역원을 정의 후 모든 원소에 대해 곱셈의 역원의 존재성을 요구하므로, 사칙연산이 가능해지기 시작한다.

Ring with unity $R$ 의 원소 $a \in R$ 에 대해 $ab=ba=1$ 인 $b \in R$ 가 존재하면 $a$ 는 invertible element. $b$ 는 Multiplicaiton inverse라고 한다.

Commutative Ring with unity $F$ 가 $\forall a \in F\backslash\{0\}, a \ \text{is invertible element}$ 를 만족하면 Field라고 한다.

연산이란

---

Field의 정의까지 보고 있으면, 그간 내가 초등학교에서부터 배웠던 덧셈과 곱셈이라고 부르는 연산이란 어디에서 유래된 것일까 하는 생각이 든다.

그 전에 또 한 가지 와닿는 건 무언가를 정의하는 방식이 직관과는 반대되는 순서로 것인데, 흡사 위상공간에서 열린 집합을 정의할 때 '이런 조건을 만족하는 것을 잘 찾아서 열린 집합이라고 칭하자' 하는 식이 아니라 (이건 metric space)

일단 어떠한 T 라는 family of sets이 있다고 하자 -> 그 T가 특정 조건들을 만족하면, T의 원소들은 모두 열린 집합이라고 부르자

라는 순서로 정의되는 것과 유사하게, Field에서 두 개의 연산을 정의하는 방식도

1. 일단 어떤 이항 연산 두 개를 가져온다.

2. 그 둘이 여러 조건들을 만족하는지 확인한다.

이런 느낌.

그리고 1번의 어떤 이항 연산 두 개를 정할 때 (페아노 공리계로 정의되는 arithmetic 연산들 중) 덧셈, 곱셈을 가져오면, 실수체의 Addition과 Multiplication으로 기능할 수 있다는 것으로 이해했다.

Commutator

---

이제 큐브(특히 블라인드)에 사용되는 커뮤테이터(Commutator)라는 것의 이름이 어디서 유래되었는지 알 수 있다.

군의 두 element $g, h \in G$ 에 대한 Commutator의 정의가 $[g, h] = g^{-1} h^{-1} g h$ 이다.

따라서 왜 수많은 큐브 커뮤테이터 공식들이 모두 A B A' B'의 형태를 띄는 것이며, 이런 건 대체 누가 어떻게 발견해낸 걸까 싶었던 10년 이상의 의문도 해결할 수 있다.

2026.01.07

References

---

Introduction to Topology, 2ed (T.W. Gamelin and R.E. Greene)

https://gosamy.tistory.com/26